Estratérgias para o ensino da Matemática :

Os Jogos,no ensino da Matemática,não só estimulam o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático, como também propiciam a interação e o confronto entre diferentes formas de pensar.Eles permitem aos alunos vivenciarem uma experiência com características sociais e culturais, provocando a descentração , a aquisição de regras a expressão do imaginário e a propriação de conhecimentos.

O jogo é, em geral, uma atividade que envolve dois ou mais jogadores, que tem um objetivo comum a ser alcançado e regras preestabelecidas (contato aceito pelo grupo).

Aquele que primeiro alcança esse objetivo será vencedor. Dependendo do jogo , os alunos podem assumir diferentes papéis:Independentes, opostos ou cooperativos.Os jogos possibilitam o desenvolvimento de estratérgias, o estabelecimento de planos e a avaliação da eficácia das jogadas de acordo com os resultados obtidos, sendo muitas vezes uma situação auto-avaliante(ou "autovalidante").

JOGOS MATEMÁTICOS
JOGOS MATEMÁTICOS " ESTIMULAM O RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO"
ÁBACO

 

JOGO DE DADOS
JOGO DE DAMAS
JOGO DE XADREZ
TANGRAM
ÁBACO

 

O o ábaco foi inventado pelos romanos. E é justamente das pedrinhas que os formam que vem palavras como contas, contar, cálculo e calcular. Muitos anos depois, em 1541, os portugueses aportaram no Japão e levaram consigo os jesuítas com seus ábacos que foram muito bem recebidos por lá. Enquanto isso, no ocidente, a adoção dos algarismos arábicos quase levaram esses instrumentos ao esquecimento.
Imaginem ainda que quando Jesus nasceu em Belém estava sendo feito um censo e deveriam existir formas dos romanos fazerem contas que não haveriam de ser com algarismos romanos. Nesse período eles já usavam ábacos, pois sempre foram muito organizados, inclusive, na cobrança de impostos e nas transações comerciais.
Com o advento dos algarismos arábicos, especialmente com a noção do zero, puderam-se fazer contas na ponta do lápis, ou a bico de pena, se o leitor preferir. É que, com os algarismos romanos, colocar parcelas, umas sobre as outras, não significava nada, pois os números não tinham a correspondência espacial que a noção do zero nos trouxe.
As frações decimais também não existiam, tanto que os países de língua inglesa ainda usam as ordinais para quase todas as medições, especialmente as feitas em polegadas e demais medidas imperiais. Os latinos que tiveram muito mais influência árabe, seja pela invasão da Península Ibérica, seja pelo compartilhamento de ilhas do Mediterrâneo, adotaram os seus meios de contar com grande entusiasmo, esquecendo-se rapidamente dos antigos métodos.
No Japão, porém, não havendo os mesmos recursos gráficos para registro de números, o ábaco floresceu e expandiu seu uso, muito embora a máquina de calcular de Ghaus tenha-se baseado nele. Em 1601, os europeus foram expulsos do Japão pelo Xogum Tokugawa. Houve uma matança de cristãos e somente a ilha de Fukuoka pôde continuar a receber estrangeiros, de modo que a escrita romana não se espalhou pelo restante do país, mas o ábaco sim, pois resolvia um problema sério.

 

O ábaco 

Na medida em que os cálculos foram se complicando e aumentando de tamanho,sentiu-se   a necessidade de um instrumento que viesse em auxílio, surgindo assim há cerca de 2.500 anos o ÁBACO. Este era formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representava a quantidade a ser trabalhada. O ábaco russo era o mais simples: continham 10 contas, bastando contá-las para obtermos suas quantidades numéricas. O ábaco chinês possuía 2 conjuntos por fio, contendo 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representavam 5 unidades. A variante do ábaco mais conhecida é o SOROBAN, ábaco japonês simplificado (com 5 contas por fio, agrupadas 4x1), ainda hoje utilizado, sendo que em uso de mãos treinadas continuam eficientes e rápidos para trabalhos mais simples. Esse sistema de contas e fios recebeu o nome de calculi pelos romanos, dando origem à palavra cálculo.

 

 

Se procura o elemento arquitectónico, consulte ábaco (coluna).
Primeira calculadora utilizada pelo homem: um ábaco representando o número 6302715408
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Primeira calculadora utilizada pelo homem: um ábaco representando o número 6302715408
O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente. Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do acto natural de se contar nos dedos. Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dez. Ele é utilizado ainda hoje para ensinar às crianças as operações de somar e subtrair.


Índice
[esconder]


Construção e utilização do ábaco

Cada bastão contém dez bolas móveis, que podem ser movidas para cima e para baixo. Assim, de acordo com o número de bolas na posição inferior, temos um valor representado. Pode haver variações, como na figura ao lado, onde se fazem divisões na moldura e o número de bolas é alterado. Observe que na figura temos o número 6302715408 (por exemplo 8=5+3, com a parte superior representando múltiplos de 5, neste caso 0, 5 e 10).
Estrutura com hastes metálicas divididas em duas partes, das quais uma tem duas contas e a outra, cinco contas, que deslizam nessas hastes. Os ábacos orientais dispõem de varas verticais divididas em dois, com as contas sobre a barra tendo o valor cinco vezes superior aos das contas abaixo. O suanpan chinês dispõe de duas contas acima da barra ou divisor e cinco abaixo. O moderno soroban japonês por outro lado, tem uma conta acima e quatro abaixo do divisor.
Algumas hastes podem ser reservadas pelo operador para armazenar resultados intermediários. Desta forma, poucas guias são necessárias, já que o ábaco é usado mais como um reforço de memória enquanto o usuário faz as contas de cabeça. Exemplo de cálculo
O cálculo começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, e trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue a regra ou padrão 6 = 10 - 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (-5 + 1 = -4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara à esquerda. Daí, passa a somar o três ao quatro, o sete ao oito, e no ábaco aparecerá a resposta: 1.185. Devido a operar assim, da esquerda para a direita, pode começar seu cálculo assim que saiba o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, calcula a partir das unidades ou do lado direito do problema.História e Versões do ábaco
Origens
O primeiro ábaco foi quase de certeza construído numa pedra lisa coberta por areia ou pó. Palavras e letras eram desenhadas na areia; números eram eventualmente adicionados[1] e bolas de pedra eram utilizadas para ajuda nos cálculos. Os babilónios utilizavam este ábaco em 2400 a.C..[2] A origem do ábaco de contar com [bastões[1] é obscuro, mas a Índia, a Mesopotamia ou o Egipto são vistos como prováveis pontos de origem.[3] A China desempenhou um papel importante no desenvolvimento do ábaco.

 

O ábaco na idade média
Figura de um ábaco usado na Idade Média
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Figura de um ábaco usado na Idade Média
Os gregos e romanos, na antiguidade, utilizavam o ábaco para calcular, e depois os chineses e japoneses o aperfeiçoaram.
Daí, uma variedade de ábacos foram desenvolvidos; o mais popular utiliza uma combinação de dois números-base (2 e 5) para representar números decimais. Mas os mais antigos ábacos usados primeiro na Mesopotamia e depois na Grécia e no Egipto por escrivões usavam números sexagesimais representados por factores de 5, 2, 3 e 2 por cada dígito.
A palavra ábaco originou-se do Latim abacus, e esta veio do grego abakos. Esta era um derivado da forma genitiva abax (lit. tábua de cálculos). Porque abax tinha também o sentido de tábua polvilhada com terra ou pó, utilizada para fazer figuras geométricas, alguns linguistas especulam que tenha vindo de uma língua semítica (o púnico abak, areia, ou o hebreu ābāq (pronunciado a-vak), areia).
Figura da disputa entre um abacista versus um algorista por Gregor Reisch, Margarita Philosophica, 1508
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Figura da disputa entre um abacista versus um algorista por Gregor Reisch, Margarita Philosophica, 1508
No caso do Inglês, a palavra abacus é utilizada desde antes de 1387 e foi emprestada do Latim abacus. O plural do inglês abacus é controverso, mas abacuses[4] e abaci[5] estão em uso.

Ábaco babilónio
Os babilónios podem ter utilizado o ábaco para operações de adição e subtracção. No entanto, este dispositivo primitivo provou ser difícil para a utilização em cálculos mais complexos.[6] Algumas pessoas conhecem um caracter do alfabeto cuneiforme babilónio que pode ter sido derivado de uma representação do ábaco.[7]

Ábaco egipcio
O uso do ábaco no antigo Egito é mencionado pelo historiador grego Crabertotous, que escreve sobre a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era oposta na direção quando comparada com o método grego. Arqueologistas encontraram discos antigos de vários tamanhos que se pensam terem sido usados como material de cálculo. No enatnto, pinturas de parede não foram descobertas, espalhando algumas dúvidas sobre a intenção de uso deste instrumento.[8]

Ábaco grego
Uma tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data de 300 a.C., fazendo deste o mais velho ábaco descoberto até agora. É um ábaco de mármore de 149 cm de comprimento, 75 cm de largura e de 4,5 cm de espessura, no qual existem 5 grupos de marcações. No centro da tábua existe um conjunto de 5 linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical, tampada por um semi-círculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto e a linha vertical única. Debaixo destas linhas, existe um espaço largo com uma rachadura horizontal a dividi-los. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo de onze linhas paralelas, divididas em duas secções por uma linha perpendicular a elas, mas com o semi-círculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona linhas estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.

Ábaco romano
Ábaco romano reconstruído
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Ábaco romano reconstruído
Ábaco romano
O método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais, calculi, erm utilizadas. Mais tarde, e na Europa medieval, os jetons começaram a ser manufacturados. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana. O sistema de contagem contrária continuou até à queda de Roma, assim como na Idade Média e até ao século XIX, embora já com uma utilização mais limitada.[9]
Em adição às mais utilizadas bolas de contagem frouxas, vários espécimens de um ábaco romano foram encontrados, mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos sulcos contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como nenhuma bola.
Nos sulcos menores, o sulco marcado I marca unidades, o X dezenas e assim sucessivamente até aos milhões. As bolas nos sulcos menores marcam os cincos - cinco unidades, cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado na numeração romana. Os sulcos mais pequenos à direita podem ter sido utilizados para a marcação das onças romanas.

Ábaco indiano
Fontes do século I, como a Abhidharmakosa, descrevem a sabedoria e o uso do ábaco na Índia.[10] Por volta do século V, escrivãos indianos estavam já à procura de gravar os resultados do Ábaco.[11] Textos hindus usavam o termo shunya (zero) para indicar a coluna vazia no ábaco.[12]

Ábaco chinês
Suanpan (o número representado na figura é 6.302.715.408)
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Suanpan (o número representado na figura é 6.302.715.408)
Suanpan
A menção mais antiga a um suanpan (ábaco chinês) é encontrada num livro do século I da Dinastia Han Oriental, o Notas Suplementares na Arte das Figuras escrito por Xu Yue.[13] No entanto, o aspecto exacto deste suanpan é desconhecido.
Habitualmente, um suanpan tem cerca de 20 cm de altura e vem em variadas larguras, dependendo do fabricante. Tem habitualmente mais de sete hastes. Existem duas bolas em cada haste na parte de cima e cinco na parte de baixo, para números decimais e hexadecimais. Ábacos mais modernos tem uma bola na parte de cima e quatro na parte de baixo. As bolas são habitualmente redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas por serem movidas para cima ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes o valor; se não, não lhes conta o valor. O suanpan pode voltar á posição inicial instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do eixo horizontal para afastar todas as peças do centro.
Os suanpans podem ser utilizados para outras funções que não contar. Ao contrário do simples ábaco utilizado nas escolas, muitas tecnicas eficientes para o suanpan foram feitas para calcular operações que utilizam a multiplicação, a divisão, a adição, a subtracção, a raiz quadrada e a raiz cúbica a uma alta velocidade.
No famoso quadro Cenas à Beira-mar no Festival de Qingming pintado por Zhang Zeduan (1085-1145) durante a Dinastia Song (960-1297), um suanpan é claramente visto ao lado de um livro de encargos e de prescrições do doutor na secretária de um apotecário.
A similaridade do ábaco romano com o suanpan sugere que um pode ter inspirado o outro, pois existem evidências de relações comerciais entre o Império Romano e a China. No entanto, nenhuma ligação directa é passível de ser demonstrada, e a similaridade dos ábacos pode bem ser concidência, ambos derivando da contagem de cinco dedos por mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1 bolas por espaço decimal, o suanpan padrão tem 5 mais 2, podendo ser utilizado com números hexadecimal mas não incluiam o conceito de zero. O zero foi provavelmente introduzido aos chineses na Dinastia Tang (618-907), quando as viagens no Oceano Índico e no Médio Oriente teriam dado contacto directo com a Índia e o Islão, permitindo-lhes saber o conceito de zero e do ponto decimal de mercantes e matemáticos indianos e islâmicos.
O suanpan migrou da China para a Coreia em cerca do ano 1400. Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판) or jusan (주산).[14]decimais, ao contrário do romano. Em vez de funcionar em cordas como os modelos chinês e japonês, o ábaco romano funciona em sulcos, provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra fonte provável do suanpan são as pirâmides numéricas chinesas, que operavam com o sistema

Ábaco japonês
Soroban japonês
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Soroban japonês
Soroban
Um soroban (算盤, そろばん, lit. tábua de contar) é uma versão modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado do suanpan, importado para o Japão antes do século XVI.]].[15] No entanto, a idade de transmissão exacta e o meio são incertos porque não existem registos específicos. [16][17] Como o suanpan, o soroban ainda hoje é utilizado no Japão, apesar da proliferação das calculadoras de bolso, mais baratas.
A Coreia tem também o seu próprio, o supan (수판), que é basicamente o soroban antes de tomar a sua actul forma nos anos 30. O soroban moderno também tem este nome.[18]

Ábacos dos nativos americanos
Representação de um quipu Inca
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Representação de um quipu Inca
Algumas fontes mencionam o uso de um ábaco chamado nepohualtzintzin na antiga cultura azteca. Este ábaco mesoamericano utiliza um sistema de base 20 com 5 dígitos.
O quipu dos Incas era um sistema de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como varas de registo avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quechua para tábua de contar), que estava ainda em uso depois da conquista do Peru. O principio de trabalho de uma yupana é desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para a base matemática deste instrumento foi proposta. Por comparação à forma de várias yupanas, os investigadores descobriram que os cálculos eram baseados na sequência Fibonnaci, utilizando 1,1,2,3,5 e múltiplos de 10, 20 e 40 para os diferentes campos do instrumento. Utilizar a sequência Fibonnaci manteria o número de bolas num campo no mínimo.

Ábaco russo
Ábaco russo.
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Ábaco russo.
O ábaco russo, o schoty (счёты), normalmente tem apenas um lado comprido, com 10 bolas em cada fio (excepto um que tem 4 bolas, para fracções de quartos de rublo). Este costuma estar do lado do utilizador. (Modelos mais velhos têm outra corda com 4 bolas, para quartos de kopeks, que eram emitidos até 1916. O ábaco russo é habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda para a direita ao modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se moverem para o outro lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um dos lados. É clarificado quando as bolas se devem mover para a direita. Durante a manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil visualização, as duas bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da corda excepção, a 3ª e a 4ª) costumam estar com cores diferentes das outras oito. Como tal, a bola mais à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se existir) costuma também estar pintada de maneira diferente.
O ábaco russo estava em uso em todas as lojas e mercados de toda a antiga União Soviética, e o uso do ábaco era ensinado em todas as escolas até aos anos 90. Hoje é visto como algo arcaico e foi substituído pela calculadora. Na escola, o uso da calculadora é ensinado desde os anos 90.

Ábaco escolar
Ábaco escolar utilizado numa escola primária dinamarquesa, do século XX.
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Ábaco escolar utilizado numa escola primária dinamarquesa, do século XX.
Em todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados no ensino pré-escolar e primário como uma ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética. Nos países ocidentais, uma tábua com bolas similar ao ábaco russo mas com fios mais direitos e um plano vertical tem sido comum (ver imagem).
O tipo de ábaco aqui mostrado é vulgarmene utilizado para representar números sem o uso do lugar da ordem dos números. Cada bola e cada fio tem exactamente o mesmo valor e, utilizado desta maneira, pode ser utilizado para representar números acima de 100.
A vantagem educacional mais significante em utilizar um ábaco, ao invés de bolas ou outro material de contagem, quando se pratica a contagem ou a adição simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos de 10 que são a base do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta base de 10 como garantida, é na realidade difícil de aprender. Muitas crianças de 6 anos conseguem contar até 100 de seguida com somente uma pequena consciência dos padrões envolvidos.

Usos pelos deficientes visuais
Um ábaco adaptado, inventado por Helen Keller e chamado de Cranmer, é ainda utilizado por deficientes visuais. Um pedaço de fabrico suave ou borracha é colocado detrás das bolas para não moverem inadvertidamente. Isto mantém as bolas no sítio quando os utilizadores as sentem ou manipulam. Elas utilizam um ábaco para fazer as funções matemáticas multiplicação, divisão, adição, subtracção, raíz quadrada e raíz cúbica.
Embora alunos deficientes visuais tenham beneficiado de calculadoras falantes, o uso do ábaco é ainda ensinado a estes alunos em idades mais novas, tanto em escolas públicas como em escolas privadas de ensino especial. O ábaco ensina competências matemáticas que nunca poderão ser substituídas por uma calculadora falante e é uma ferramenta de ensino inportante para estudantes deficientes visuais. Os estudantes deficientes visuais também completam trabalhos de matemática utilizando um escritor de Braille e de código Nemeth (uma espécie de código Braille para a matemática), mas as multplicações largas e as divisões podem ser longas e difíceis. O ábaco dá a estudantes deficientes visuais e visualmente limitados uma ferramenta para resolver problemas matemáticos que iguala a velocidade dos seus colegas sem problemas visuais utilizando papel e lápis. Muitas pessoas acham esta uma máquina útil durante a sua vida.

Curiosidades
Foi mostrado que alunos chineses conseguem fazer contas complexas com um ábaco, mais rapidamente do que um ocidental equipado com uma moderna calculadora electrónica. Embora a calculadora apresente a resposta quase instantaneamente, os alunos conseguem terminar o cálculo antes mesmo de seu competidor acabar de digitar os algarismos no teclado da calculadora.

Figuras medievais do uso do ábaco


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Do ábaco à Internet
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O ábaco                               Os fundamentos da revolução do computador
 edificaram-se de maneira lenta e irregular.
Geração de                        Um dos pontos de partida foi o desenvolvimento -
computadores                                      há mais de 1500 anos,
provavelmente no mundo mediterrâneo - do ábaco,
História do                          um instrumento composto de varetas ou barras
computador                          e pequenas bolas, utilizado pelos mercadores
para contar e calcular.
História da                       Em termos aritméticos, as barras atuam como colunas
Internet                          que posicionam casas decimais: cada bola na barra das
unidades vale um, na barra das dezenas vale 10,
Webmasters                              e assim por diante.
                                            O ábaco era tão eficiente que logo se propagou
Linha do tempo                 por toda parte, e em alguns países é usado até hoje.
Antes do século XVII,
Bastões de Napier               época de intensa ebulição intelectual,
nenhum outro
Régua de Cálculos               instrumento de cálculo podia competir com ele.
 Curiosidades
Blaise Pascal
Adicionando
com o ábaco
 


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